题目内容
已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动,且

(1)求曲线C的方程;
(2)过曲线C上任意一点作它的切线l,与椭圆


【答案】分析:(1)(方法一)设P(x,y),A(x1,x1),B(x2,-x2).由
,知P是线段AB的中点,由此能得到点P的轨迹C的方程.
(方法二)由
,知P为线段AB的中点,由M、N分别在直线y=x和y=-x上,知∠AOB=90°.由此能得到点P的轨迹C的方程.
(2)当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由l与C相切,知
=
,
.联立
,故
.由此能够证明
•
为定值0.
解答:解:(1)(方法一)设P(x,y),A(x1,x1),B(x2,-x2).
∵
,∴P是线段AB的中点,∴
(2分)
∵
,∴
,∴
.
∴化简得点P的轨迹C的方程为
.(5分)
(方法二)∵
,∴P为线段AB的中点、(2分)
∵M、N分别在直线y=x和y=-x上,∴∠AOB=90°.
又
,∴
,∴点P在以原点为圆心,
为半径的圆上、
∴点P的轨迹C的方程为
.(5分)
(2)证明:当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,
∵l与C相切,∴
=
,∴
.
联立
,∴
.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1•x2=
,
.(8分)
∴
•
=x1x2+y1y2=
.
又
,∴
•
=0.(10分)
当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=±
,代入椭圆方程得
M(
,
),N(
,-
)或M(-
,
),N(-
,-
),
此时,
•
=
-
=0.
综上所述,
•
为定值0.(12分)
点评:本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆、椭圆的相关知识.

(方法二)由

(2)当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由l与C相切,知







解答:解:(1)(方法一)设P(x,y),A(x1,x1),B(x2,-x2).
∵


∵



∴化简得点P的轨迹C的方程为

(方法二)∵

∵M、N分别在直线y=x和y=-x上,∴∠AOB=90°.
又



∴点P的轨迹C的方程为

(2)证明:当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,
∵l与C相切,∴



联立


设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1•x2=


∴



又



当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=±

M(








此时,




综上所述,


点评:本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆、椭圆的相关知识.

练习册系列答案
相关题目