题目内容

已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且 $数学公式$ ，动点P满足 $数学公式$ （O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆 $数学公式$ 交于M、N两点，求证： $数学公式$ 为定值．

解：（1）（方法一）设P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．
∵ $\text{[math]}$ ，∴P是线段AB的中点，∴ $\text{[math]}$ （2分）
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴化简得点P的轨迹C的方程为 $\text{[math]}$ ．（5分）
（方法二）∵ $\text{[math]}$ ，∴P为线段AB的中点、（2分）
∵M、N分别在直线y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴点P在以原点为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆上、
∴点P的轨迹C的方程为 $\text{[math]}$ ．（5分）
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，
∵l与C相切，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
联立 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁•x₂= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（8分）
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =x₁x₂+y₁y₂= $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0．（10分）
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=± $\text{[math]}$ ，代入椭圆方程得
M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），N（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）或M（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），N（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
此时， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0．
综上所述， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 为定值0．（12分）
分析：（1）（方法一）设P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．由 $\text{[math]}$ ，知P是线段AB的中点，由此能得到点P的轨迹C的方程．
（方法二）由 $\text{[math]}$ ，知P为线段AB的中点，由M、N分别在直线y=x和y=-x上，知∠AOB=90°．由此能得到点P的轨迹C的方程．
（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，由l与C相切，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．联立 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．由此能够证明 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 为定值0．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆、椭圆的相关知识．