题目内容
已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动,且|AB|=
,动点P满足
(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C。
(1)求曲线C的方程;
(2)过曲线C上任意一点作它的切线l,与椭圆
交于M、N两点,求证:
为定值。


(1)求曲线C的方程;
(2)过曲线C上任意一点作它的切线l,与椭圆


解:(1)∵
∴P为线段AB的中点
∵A,B分别在直线y=x和y=-x上
∴
又
∴
∴点P在以原点为圆心,
为半径的圆上
∴点P的轨迹C的方程为
;
(2)证明:当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m
∵l与C相切
∴
∴
联立
∴
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
,
又
∴
·
=0
当直线l的斜率不存在时,l的方程为
带入椭圆方程得
或

此时,
综上所述
为定值0。

∴P为线段AB的中点
∵A,B分别在直线y=x和y=-x上
∴

又

∴

∴点P在以原点为圆心,

∴点P的轨迹C的方程为

(2)证明:当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m
∵l与C相切
∴

∴

联立

∴

设M(x1,y1),N(x2,y2),则


又

∴


当直线l的斜率不存在时,l的方程为

带入椭圆方程得



此时,

综上所述


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