Question

（1）对于任意的m∈R，动直线l：（m+3）x-（m+2）y+m=0恒过一定点，求该定点坐标．
（2）两定直线ON、OM夹角θ=45°，且与动直线l分别交于点A、B，A、B在OM、ON上的射影分别为P、Q，如果直线AB过一定点，求证直线PQ也过一定点．

Answer 1

分析：（1）按照m集项，利用任意的m∈R，方程成立，得到方程组，求出方程组的解，得到交点坐标，即可．
（2）建立直角坐标系，设出直线AB的方程，求出B、Q、P的坐标，写出PQ的方程，然后利用（1）的方法确定直线PQ也过一定点．

解答：解：（1）对于任意的m∈R，动直线l：（m+3）x-（m+2）y+m=0转化为：m（x-y+1）+3x-2y=0，
所以

x-y+1=0 3x-2y=0

解得x=2，y=3，所以直线l：（m+3）x-（m+2）y+m=0恒过定点（2，3）．
（2）建立如图所示的直角坐标系，由题意可知OM的方程为：y=x，ON的方程为：y=0，
动直线l分别交于点A、B，不妨设A为定点（1，0），直线AB的方程为：x=ny+1，（n≠1）
所以，AB与OM的交点的横坐标，由

x=ny+1 y=x

可得：x=

1

1-n

，，（n≠1）
即Q的坐标为（

1

1-n

，0），由题意P（

1

2

，

1

2

），
所以PQ的方程为：（

1

2

-

1

1-n

）（y-

1

2

）=

1

2

(x-

1

2

)，
即

1

2

(y-x)-

1

1-n

(y-

1

2

)=0，因为n∈R，n≠1，
所以直线PQ恒过（

1

2

 ，

1

2

）．

点评：本题是中档题，考查直线系过定点问题，注意m，n的任意性方程成立条件的应用，考查解析法证明问题的基本方法，考查计算能力．