题目内容
16．已知数列{an}满足an+1=an+2n，n=1，2，3，…，且bn=$\frac{1}{{a}_{n}}$，a1=1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对任意n∈N*，都有1≤Tn＜2成立．
分析 （I）由an+1=an+2n，可得an+1-an=2n，利用“累加求和”、等比数列的前n项和公式即可得出；
（II）${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，由于bn＞0，可得Tn≥T1=1．当n≥2时，bn=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．再利用等比数列的前n项和公式即可证明．
解答 （I）解：∵an+1=an+2n，∴an+1-an=2n，
∴当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2n-1．
当n=1时也成立，∴an=2n-1．
（II）证明：${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
∵bn＞0，∴Tn≥T1=1．
当n≥2时，bn=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴Tn$＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=$2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$＜2．
综上可得：对任意n∈N*，都有1≤Tn＜2成立．
点评 本题考查了“累加求和”、等比数列的前n项和公式、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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