Question

【题目】已知F1 ， F2分别为双曲线C： ﹣ =1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1 ， 则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A.（3，+∞）
B.（1，2+ ）
C.（3，2+ ）
D.（1，3）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：在△BAF2和△BF2F1中， 由∠BAF2=∠BF2F1 ， ∠ABF2=∠F2BF1 ，
可得△BAF2∽△BF2F1 ，
即有 = = ，
即为 = = ，
= =e＞1，
可得AF2=e（BF2﹣BA）＞c+a，即有BF2＞BA，
又BA＞2a，
即BF2＞2a，
BF2取最小值c﹣a时，BF2也要大于BA，
可得2a＜c﹣a，即c＞3a，
即有e= ＞3．
当AF1与x轴重合，即有 = ，
e= ，可得e2﹣4e﹣1=0，解得e=2+ ，
即有3＜e＜2+ ．
故选：C．