题目内容
【题目】在直角△ABC中,∠ACB=30°,∠B=90°,D为AC中点(左图),将∠ABD沿BD折起,使得AB⊥CD(右图),则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为( )
A.﹣
B.
C.﹣
D.
【答案】A
【解析】解:过A作AE⊥BD,在原图延长角BC与F,过A作AO⊥面BCD,垂足为O.由于面AEF⊥面BCD,所以O在FE上,连BO交CD延长线于M,
∵在△ABC中,∠ACB=30°,∠B=90°,D为AC中点,
AB= ,BD= AC,
∴△ABD为等边三角形,
∴BD⊥AE,BD⊥EF,
∴∠AEF为二面角A﹣BD﹣C的平面角,
过A作AO⊥面BCD,垂足为O,
∵面AEF⊥面BCD,
∴O在EF上,
理解BO交CD延长线于M,
当AB⊥CD时,由三垂线定理的逆定理可知:MB⊥CM,
∴O为翻折之前的三角形ABD的中心,
∴OE= AE,
cos∠AEO= ,
∴cos∠AEF= ,
故选:A