题目内容
【题目】已知函数f(x)=kx,g(x)= .
(1)求函数g(x)= 的单调区间;
(2)若不等式f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:∵g(x)= ,x>0,故其定义域为(0,+∞),
∴ ,
令g′(x)>0,得0<x<e,
令g′(x)<0,得x>e,
故函数 的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).
(2)解:∵ ,∴k
,
令 ,
又 ,
令h′(x)=0,解得 ,
当x在(0,+∞)内变化时,h′(x),h(x)变化如下表
x | |||
h′(x) | + | 0 | ﹣ |
h(x) | ↗ | ↘ |
由表知,当时函数h(x)有最大值,且最大值为 ,
所以 .
【解析】(1)由g(x)= ,知
,由此能求出函数
的单调区间.(2)由
,知k
,令
,知
,由此能求出实数k的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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