题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有an＞0，
．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．
解：（Ⅰ）当n=1时，有
，由于an＞0，所以a1=1
当n=2时，有
，即
，将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2
（Ⅱ）由
得，a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2①
则有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2②
②-①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2-（a1+a2+…+an）2
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1③
同样有an2=2（a1+a2+…+an-1）+an④
③-④，得an+12-an2=an+1+an，所以an+1-an=1（n≥2），
由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列
故an=n
分析：（Ⅰ）由，an＞0，知a1=1.，即，由此能求出a2=2．
（Ⅱ）由得，a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，故a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2，由此得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2-（a1+a2+…+an）2，由此能够导出an+12-an2=an+1+an，所以an+1-an=1（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出其通项公式．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．
，由于an＞0，所以a1=1当n=2时，有
，即，将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2（Ⅱ）由
得，a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2①则有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2②
②-①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2-（a1+a2+…+an）2
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1③
同样有an2=2（a1+a2+…+an-1）+an④
③-④，得an+12-an2=an+1+an，所以an+1-an=1（n≥2），
由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列
故an=n
分析：（Ⅰ）由
，an＞0，知a1=1.，即，由此能求出a2=2．（Ⅱ）由
得，a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，故a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2，由此得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2-（a1+a2+…+an）2，由此能够导出an+12-an2=an+1+an，所以an+1-an=1（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出其通项公式．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．
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