题目内容
【题目】过椭圆W:的左焦点
作直线
交椭圆于
两点,其中
,另一条过
的直线
交椭圆于
两点(不与
重合),且
点不与点
重合.过
作
轴的垂线分别交直线
,
于
,
.
(Ⅰ)求点坐标和直线
的方程;
(Ⅱ)求证:.
【答案】(Ⅰ),
的方程为
;(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得直线的方程为
.与椭圆方程联立方程组,即可求解B点坐标;
(Ⅱ)设,
,
的方程为
,联立方程组,根据根与系数的关系,求得
,
,进而得出
点的纵坐标
,化简即可证得
,得到证明.
(Ⅰ)由题意可得直线的方程为
.与椭圆方程联立,由
可求.
(Ⅱ)当与
轴垂直时,
两点与
,
两点重合,由椭圆的对称性,
.
当不与
轴垂直时,
设,
,
的方程为
(
).
由消去
,整理得
.
则,
.
由已知,,
则直线的方程为
,令
,得点
的纵坐标
.把
代入得
.
由已知,,则直线
的方程为
,令
,得点
的纵坐标
.把
代入得
.
把,
代入到
中,
=
.
即,即
..
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