题目内容

（理）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=2
19
，AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系．
（1）求EF的长；
（2）证明：EF⊥PC．
（1）以A为原点，
AB
，
AD
，
AP
分别为x，y，z轴建立直角坐标系，
由条件知：AF=2，
∴F（0，2，0），P（0，0，2
19
），C（8，6，0），从而E（4，3，
19
），
∴EF=
(4-0)2+(3-2)2+(
19
-0)2
=6．
（2）证明：
EF
=（-4，-1，-
19
），
PC
=（8，6，-2
19
），
∵
EF
•
PC
=-4×8+（-1）×6+（-
19
）×（-2
19
）=0，
∴EF⊥PC．
练习册系列答案
相关题目
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为
6
6
，求四棱锥P-ABCD的体积．
如图，正方体AC1的棱长为1，连接AC1，交平面A1BD于H，则以下命题中，错误的命题是（　　）
A．AC1⊥平面A1BD
B．H是△A1BD的垂心
C．AH=
3
3
D．直线AH和BB1所成角为45°
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（　　）个直角三角形．
A．4B．3C．2D．1
如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=4，M为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF：
（Ⅱ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅲ）求三棱锥C-MBD的体积．
如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：面PAD⊥面PAB．
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的大小．
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=
3
2
，连接CE并延长交AD于F．
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求三棱锥P-ABD外接球的体积．
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，FA⊥平面ABCD，EF∥BC，FA=2，AD=3，∠ADE=45°，点G是FA的中点．
（1）求证：EG⊥平面CDE；
（2）在棱BC是否存在点M，使GM∥平面CDE，若存在，找出点M；若不存在，说明理由．
如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．
（1）求证：DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积．

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