题目内容
【题目】已知正三棱柱中,所有棱长都是3,点D,E分别是线段
和
上的点,
.
(1)试确定点E的位置,使得平面
,并证明;
(2)若直线与平面
所成角的正弦值为
,求二面角
的余弦值的大小.
【答案】(1)E为三等分点,且
,证明见解析;(2)
【解析】
(1)取E为AC的三等分点,且AC=3AE,过E作EK∥CC1,且,得到四边形BEKD为平行四边形,有BE∥KD,由线面平行的判定可得BE∥平面ADC1;
(2)设AC中点为M,设A1C1的中点为P,分别以MA,MB,MP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.由直线与平面
所成角的正弦值为
,可得E点坐标为
,然后分别求出平面ABE与平面BEC1的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-BE-C1的余弦值.
(1)取E为三等分点,且
,过E作
,
则,所以
为平行四边形,
所以,又
,
,
所以平面
,证毕;
(2)设中点为M,设
中点为P,
分别以,
,
为x,y,z建立空间直角坐标系,
则A(,0,0),C(
,0,0),B(0,
,0),
(
,0,3),
,
,
设平面的一个法向量为
,
由,取
,
可得,
设E点坐标为,
,
由直线与平面
所成角的正弦值为
,
解得,
可得E点坐标为,
即,
易求平面法向量
,
设平面法向量
,
,
,
由,取
,
可得,
,
又因为二面角为钝角,
所以所求余弦值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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