Question

4．函数f（1og₂x）=x-$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）为奇函数；
（3）若实数m满足：f（1-m）+f（1-m²）＜0．求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元法求f（x）的解析式；
（2）利用奇函数的定义证明：函数f（x）为奇函数；
（3）利用函数的单调性、奇偶性，结合f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范围．

解答 （1）解：设t=1og₂x，则x=2^t，
∴f（t）=2^t-2^-t，
∴f（x）=2^x-2^-x；
（2）证明：∵f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
（3）解：∵f（x）=2^x-2^-x，
∴f（x）=2^x-2^-x是增函数，
∵实数m满足：f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜f（-1+m²），
∴1-m＜-1+m²，
∴m²+m-2＞0，
∴m＜-1或m＞2．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．