题目内容

【题目】已知函数
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 ,若在[1,e]上至少存在一点x0 , 使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)当a=1时,函数

∴f(1)=1﹣1﹣ln1=0.

曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=1+1﹣1=1.

从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣0=x﹣1,

即y=x﹣1.

(Ⅱ)

要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.

即:ax2﹣x+a≥0得: 恒成立.

由于

∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,实数a的取值范围是

(III)∵ 在[1,e]上是减函数

∴x=e时,g(x)min=1,x=1时,g(x)max=e,即g(x)∈[1,e]

f'(x)= 令h(x)=ax2﹣x+a

时,由(II)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<1

在[1,e]上是减函数,故只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e]

而f(x)max=f(e)= ,g(x)min=1,即)= ≥1

解得a≥

∴实数a的取值范围是[ ,+∞)


【解析】(Ⅰ)当a=1时,求出切点坐标,然后求出f'(x),从而求出f(1)的值即为切线的斜率,利用点斜式可求出切线方程;(Ⅱ)先求导函数,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,然后将a分离,利用基本不等式可求出a的取值范围;(III)根据g(x)在[1,e]上的单调性求出其值域,然后根据(II)可求出f(x)的最大值,要使在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)≥g(x0)成立,只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e],然后建立不等式,解之即可求出a的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

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