题目内容
【题目】已知椭圆,直线
不过原点
且不平行于坐标轴,
与
有两个交点
,
,线段
的中点为
.证明:
()直线
的斜率与
的斜率的乘积为定值
.
()若
过点
,延长线段
与
交于点
,当四边形
为平行四边形时,则直线
的斜率
.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)利用点差法即可证明;
(2)根据题意M是平行四边形对角线的交点,利用坐标关系代换,构造齐次式解,再根据(1)的结论证得结论.
(1)设,直线不经过原点且不与坐标轴平行,
所以 ,
直线的斜率
,直线
的斜率
,
,
在椭圆上,
两式相减:
,两边同时除以
得,所以
,
即
所以直线的斜率与
的斜率的乘积为定值
;
(2)四边形为平行四边形时,当且仅当
与
互相平分,
设,则
,且在椭圆上,
,即
由(1)得,
,
所以,
整理得:,又因为
所以,即
,两边平方得:
,
,
所以两边同时除以
,
,
所以,
,
所以
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