Question

17．已知函数f（x）=lg[（m-1）x²-2x+1]的值域为R．则实数m的取值范围为[1，2]．

Answer 1

分析 由题意对函数中x²项的系数进行分类讨论，由对数函数的性质、二次函数的性质分别求出m的范围．

解答 解：∵函数f（x）=lg[（m-1）x²-2x+1]的值域为R，
∴真数（m-1）x²-2x+1能取到任何一个正数，
①当m-1=0时，即m=1，
则lg[（m-1）x²-2x+1]=lg（-2x+1），
由-2x+1＞0得x$＜\frac{1}{2}$，所以lg（x+1）的值域为R；
②当m-1≠0时，即m≠1，
∵（m-1）x²-2x+1＞0解集包含所有的正数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{△=（-2）^{2}-4（m-1）≥0}\end{array}\right.$，解得1＜m≤2，
综上可得，1≤m≤2，
故答案为：[1，2]．

点评 本题考查对数函数的定义域、值域，二次函数的性质，以及分类讨论思想，属于中档题．