题目内容

如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在x轴上的椭圆G的离心率为 $数学公式$ ，左顶点为A（-4，0）．圆O′： $数学公式$
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过M（0，1）作圆O′的两条切线交椭圆于E、F，判断直线EF与圆的位置关系，并证明．

解：（Ⅰ）∵椭圆G的离心率为 $\text{[math]}$ ，左顶点为A（-4，0）
∴ $\text{[math]}$
∴c= $\text{[math]}$ ，∴b=1
∴椭圆G的方程为 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）直线EF与圆O'的相切
设过点M（0，1）与圆O′： $\text{[math]}$ 相切的直线方程为：y-1=kx①
则 $\text{[math]}$ ，即32k²+36k+5=0②，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
把①代入椭圆方程，消去y可得（16k²+1）x²+32kx=0，则异于零的解为x=- $\text{[math]}$
设F（x₁，k₁x₁+1），E（x₂，k₂x₂+1），则x₁=- $\text{[math]}$ ，x₂=- $\text{[math]}$
则直线FE的斜率为：k_EF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
于是直线FE的方程为：y+ $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ）即y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$
则圆心（2，0）到直线FE的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故结论成立．
分析：（Ⅰ）利用椭圆G的离心率为 $\text{[math]}$ ，左顶点为A（-4，0），建立方程，即可求得椭圆G的方程；
（Ⅱ）直线EF与圆O'的相切．设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx，由圆心到直线的距离等于半径求k的值，与椭圆方程联立，表示出E，F和坐标，从而得到EF所在的直线的方程，再探讨圆心到直线的距离和半径的关系．
点评：本题主要是通过圆和椭圆来考查直线和圆，直线和椭圆的位置关系，考查学生的计算能力．