Question

【题目】如图，点分别是椭圆C:的左、右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作的垂线交直线于点.

（1）如果点的坐标为（4,4），求椭圆的方程；

（2）试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 所以直线与椭圆只有一个公共点.过程见解析.

【解析】分析：（1），，先求得点坐标，从而可得的斜率及方程，得点坐标为，利用可求得；

（2）由两点坐标写出直线的方程，与椭圆方程联立，讨论方程组的解的个数可得直线与椭圆的交点个数．

详解：由方程组得点的坐标为，，

，， 直线的方程为，

将代入上式解得， .

（1）因为点的坐标为（4,4），所以，解得，，

椭圆的方程为.

（2） ，则 点的坐标为，，

的方程为，即，

将的方程代入椭圆的方程得

， ①

， 方程①可化为，解得，

所以直线与椭圆只有一个公共点.