Question

【题目】函数f（x）=xex ．
（1）求f（x）的极值；
（2）k×f（x）≥ x2+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex（x+1），

令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，

令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

∴f（x）在极小值是f（﹣1）=﹣ ，无极大值

（2）解：x＞0时，k≥ ，

令φ（x）= ，则φ′（x）= ＜0，

φ（x）在（0，+∞）递减，

故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；

﹣1≤x＜0时，k≤ ，

φ′（x）= ＜0，

故φ（x）在[﹣1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，

故k≤1，

综上，k=1，

故k∈{1}

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）分离参数，令φ（x）= ，根据函数的单调性求出k的值即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．