题目内容
【题目】已知函数 
，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个零点x1 ， x2 ， （x1＜x2），求证：1＜x1＜a＜x2＜a2 ．
【答案】
（1）解：由题意，函数的定义域为（0，+∞），
当a≤0时， 
， 
，
函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当a＞0时， 
，
若x≥a， 
，此时函数f（x）单调递增，
若x＜a， 
，此时函数f（x）单调递减，
综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）
（2）证明：由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，
此时函数至多只有一个零点，不合题意；
则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），
由题意，必须 
，解得a＞1，…10分
由 
，f（a）＜0，
得x1∈（1，a），
而f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna），
下面证明：a＞1时，a﹣1﹣lna＞0
设g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞1
则 
，
所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0，
所以f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna）＞0，
又f（a）＜0，
所以x2∈（a，a2），
综上，1＜x1＜a＜x2＜a2
【解析】（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，函数至多只有一个零点，不合题意；则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），进一步得出x1∈（1，a）和x2∈（a，a2），从而得出答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减．
