题目内容
21、设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n，
（Ⅰ）求a1，a4
（Ⅱ）证明：{an+1-2an}是等比数列；
（Ⅲ）求{an}的通项公式．
（Ⅰ）求a1，a4
（Ⅱ）证明：{an+1-2an}是等比数列；
（Ⅲ）求{an}的通项公式．
分析：（Ⅰ）令n=1得到s1=a1=2并推出an，令n=2求出a2，s2得到a3推出a4即可；
（Ⅱ）由已知得an+1-2an=（Sn+2n+1）-（Sn+2n）=2n+1-2n=2n即为等比数列；
（Ⅲ）an=（an-2an-1）+2（an-1-2an-2）++2n-2（a2-2a1）+2n-1a1=（n+1）•2n-1即可．
（Ⅱ）由已知得an+1-2an=（Sn+2n+1）-（Sn+2n）=2n+1-2n=2n即为等比数列；
（Ⅲ）an=（an-2an-1）+2（an-1-2an-2）++2n-2（a2-2a1）+2n-1a1=（n+1）•2n-1即可．
解答：解：（Ⅰ）因为a1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2
由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1
得an=sn+2n+1①
所以a2=S1+22=2+22=6，S2=8a3=S2+23=8+23=16，S2=24a4=S3+24=40
（Ⅱ）由题设和①式知an+1-2an=（Sn+2n+1）-（Sn+2n）=2n+1-2n=2n
所以{an+1-2an}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）an=（an-2an-1）+2（an-1-2an-2）++2n-2（a2-2a1）+2n-1a1=（n+1）•2n-1
由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1
得an=sn+2n+1①
所以a2=S1+22=2+22=6，S2=8a3=S2+23=8+23=16，S2=24a4=S3+24=40
（Ⅱ）由题设和①式知an+1-2an=（Sn+2n+1）-（Sn+2n）=2n+1-2n=2n
所以{an+1-2an}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）an=（an-2an-1）+2（an-1-2an-2）++2n-2（a2-2a1）+2n-1a1=（n+1）•2n-1
点评：此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力．
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