Question

【题目】已知直线y=﹣x+1与椭圆 + =1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x﹣2y=0上，求此椭圆的离心率．

Answer 1

【答案】解：联立直线y=﹣x+1与直线l：x﹣2y=0，得x= ，y= ， ∴直线y=﹣x+1与x﹣2y=0的交点为M（ ， ），∴线段AB的中点为（ ， ），
设y=﹣x+1与 + =1的交点分别为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则x1+x2= ，y1+y2= ，
分别把A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）代入椭圆 + =1（a＞b＞0），
两式相减，得﹣ =﹣ ，
∴a2=2b2 ， ∴a= b= c，∴e=
【解析】联立直线y=﹣x+1与直线l：x﹣2y=0得到线段AB的中点为（ ， ），设y=﹣x+1与 + =1的交点分别为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用点差法能求出椭圆的离心率．