Question

7．△ABC的面积为S，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{6S}{\sqrt{7}}$，则sin²A+sin²C的取值范围是$（\frac{7}{16}，\frac{7}{4}]$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{6S}{\sqrt{7}}$，可得cacosB=$\frac{6}{\sqrt{7}}$×$\frac{1}{2}acsinB$，化为：sinB=$\frac{\sqrt{7}}{3}$cosB．解得cosB．由于sin²A+sin²C=-$\frac{3}{4}$cos（B+2C）+1．即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{6S}{\sqrt{7}}$，
∴cacosB=$\frac{6}{\sqrt{7}}$×$\frac{1}{2}acsinB$，
化为：sinB=$\frac{\sqrt{7}}{3}$cosB．
又sin²B+cos²B=1．
解得cosB=$\frac{3}{4}$．
则sin²A+sin²C
=$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$
=cosBcos（A-C）+1，
=-$\frac{3}{4}$cos（B+2C）+1．
∵B+2C∈$（arccos\frac{3}{4}，2π-2arccos\frac{3}{4}）$，
∴cos（B+2C）∈[-1，$\frac{3}{4}$）．
∴sin²A+sin²C∈$（\frac{7}{16}，\frac{7}{4}]$．
故答案为：$（\frac{7}{16}，\frac{7}{4}]$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式、和差化积、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．