Question

18．已知f（x）=e^x，g（x）=mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn的最大值为$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）-g（x）≥0恒成立，即为e^x-mx-n≥0，令h（x）=e^x-mx-n，求出函数的导数，再分别讨论m=0，m＜0，m＞0的情况，从而得出mn的最大值．

解答 解：由题意可得f（x）-g（x）≥0恒成立，即为e^x-mx-n≥0，
令h（x）=e^x-mx-n，h′（x）=e^x-m，
若m=0，则h（x）=e^x-n的最小值为h（x）＞-n≥0，
得n≤0，此时mn=0；
若m＜0，则h′（x）＞0，函数单调增，x→-∞，此时h（x）→-∞，不可能恒有h（x）≥0．
若m＞0，则得极小值点x=lnm，由h（lnm）=m-mlnm-n≥0，得n≤m（1-lnm），
mn≤m²（1-lnm）=k（m）．
现求k（m）的最小值：由k′（m）=2m（1-lnm）-m=m（1-2lnm）=0，
得极小值点m=${e}^{\frac{1}{2}}$，
k（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$，
所以mn的最大值为$\frac{e}{2}$，
故答案为：$\frac{e}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．