Question

设函数f(x)=|1-

1

x

|，x＞0，
（1）证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1；
（2）点P （x₀，y₀） （0＜x₀＜1 ）在曲线y=f（x）上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x₀表达）．

Answer 1

分析：（1）f（x）中含有绝对值，按x≥1和x＜1两段去绝对值，易判f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是单调函数，
由f（a）=f（b）可得a＜1，b＞1，代入f（x）中可得a和b的关系．
（2）曲线在点P处的切线斜率为f′（x₀），由点斜式写出切线方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点，
再用三角形面积公式求面积．

解答：证明：（I）∵f(x)=|1-

1

x

|=

1 x -1，x∈(0，1] 1- 1 x ，x∈(1，+∞)

故f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b和

1

a

-1=1-

1

b

，即

1

a

+

1

b

=2?2ab=a+b＞2

ab

故

ab

＞1，即ab＞1
（II）0＜x＜1时，y=f(x)=|1-

1

x

|=

1

x

-1，∴f′(x0)=-

1

x 2 0

，0＜x0＜1
曲线y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的切线方程为：y-y0=-

1

x 2 0

(x-x0)，即y=-

x

x 2 0

+

2-x0

x0

∴切线与x轴、y轴正向的交点为(x0(2-x0)，0)和(0，

1

x0

(2-x0))
故所求三角形面积听表达式为：A (x0)=

1

2

x0(2-x0)•

1

x0

(2-x0)=

1

2

(2-x0)2

点评：本题考查含有绝对值的函数问题、基本不等式、导数、切线等知识，综合性强，考查对知识的运用能力．