Question

下列命题：
（1）函数f(x)=

x2-2x

x-2

是奇函数；
（2）函数f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函数，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂则一定有f（x₁）＜f（x₂）．
（3）函数f（x）在R上为奇函数，且f(x)=

x

+1，x＞0，则当x＜0，f（x）=y=-

-x

-1；
（4）函数y=x+

1-2x

的值域为{y|y≤1}．
以上命题中所有正确的序号是

（3）

．

Answer 1

分析：根据函数的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，可判断（1）；根据单调性为局部性质，可判断（2），根据函数的奇偶性，求出函数的解析式，可判断（3）；利用单调性法，求出函数的值域，可判断（4）

解答：解：函数的定义域为{x|x≠2}不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，故（1）错误；
函数f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函数，但单调性是局部性质，函数在（a，d）上的单调性无法判断，故（2）错误；
当x＜0时，-x＞0，由f(x)=

x

+1，x＞0得此时f（-x）=

-x

+1，又由奇函数的定义可得f（x）=-f（-x）=-

-x

-1，故（3）正确；
函数的定义域为x≤

1

2

，且在这个区间上函数是曾函数，故函数的最大值是y（

1

2

）=

1

2

，函数y=x+

1-2x

的值域为{y|y≤

1

2

}．故（4）错误
综上所述正确的命题序号为（3）
故答案为：（3）

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性，单调性，解析式的求法及函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．