题目内容
给出下列命题：
（1）函数f(x)=log3(x2-2x)的单调减区间为（-∞，1）；
（2）已知P：|2x-3|＞1，q：
＞0，则p是q的必要不充分条件；
（3）命题“?x∈R，sinx≤
”的否定是：“?x∈R，sinx＞”；
（4）已知函数f(x)=
sinωx+cosωx(ω＞0)，y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则y=f（x）的单调递增区间是[kπ-
，kπ+
]，k∈z；
（5）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）；
其中所有正确的个数是（ ）
（1）函数f(x)=log3(x2-2x)的单调减区间为（-∞，1）；
（2）已知P：|2x-3|＞1，q：
| 1 |
| x2+x-6 |
（3）命题“?x∈R，sinx≤
| 1 |
| 2 |
（4）已知函数f(x)=
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（5）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）；
其中所有正确的个数是（ ）
分析：（1）利用对数函数的定义域即可判断（1）的正误；
（2）通过解不等式
＞0可求得条件q，通过解绝对值不等式|2x-3|＞1可求得条件p，利用充分条件与必要条件的概念即可判断其正误；
（3）利用命题的否定可判断（3）；
（4）由f（x）=2sin（ωx+
）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π可求得ω，从而可求y=f（x）的单调递增区间，继而可判其正误；
（5）利用数学归纳法，即可知证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明中，左边需增添的一个因式，从而可判其正误．
（2）通过解不等式
| 1 |
| x2+x-6 |
（3）利用命题的否定可判断（3）；
（4）由f（x）=2sin（ωx+
| π |
| 6 |
（5）利用数学归纳法，即可知证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明中，左边需增添的一个因式，从而可判其正误．
解答：解：（1）由x2-2＞0得x＞
或x＜-
，
由复合函数的单调性知，f（x）=log3(x2-2x)在（-∞，-
）上单调递减，故（1）错误；
（2）由
＞0得x＞2或x＜-3，即条件q为：x＞2或x＜-3，即Q={x|x＞2或x＜-3}；
由|2x-3|＞1得x＞2或x＜-1，即条件p为：x＞2或x＜-1，即P={x|x＞2或x＜-1}；
显然，Q?P，
∴q⇒p，反之不行，
∴p是q的必要不充分条件，故（2）正确；
（3）命题“?x∈R，sinx≤
”的否定是：“?x∈R，sinx＞
”正确；
（4）∵f（x）=
sinωx+cosωx=2sin（ωx+
），且其图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π可求得ω，
∴T=π，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+
），
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
得：kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z），
∴y=f（x）的单调递增区间是[kπ-
，kπ+
]（k∈Z），故（4）正确；
（5）由数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是
=2（2k+1），故（5）正确．
综上所述，所有正确的个数是4个．
故选D．
| 2 |
| 2 |
由复合函数的单调性知，f（x）=log3(x2-2x)在（-∞，-
| 2 |
（2）由
| 1 |
| x2+x-6 |
由|2x-3|＞1得x＞2或x＜-1，即条件p为：x＞2或x＜-1，即P={x|x＞2或x＜-1}；
显然，Q?P，
∴q⇒p，反之不行，
∴p是q的必要不充分条件，故（2）正确；
（3）命题“?x∈R，sinx≤
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（4）∵f（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
∴T=π，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴y=f（x）的单调递增区间是[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（5）由数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是
| (2k+1)(2k+2) |
| k+1 |
综上所述，所有正确的个数是4个．
故选D．
点评：本题考查复合函数的单调性，考查充分条件与必要条件，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，突出考查数学归纳法的应用，属于难题．
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