Question

给出下列命题：
（1）函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）的图象关于点（-

π

6

，0）对称；
（2）函数g（x）=-3sin（2x-

π

3

）在区间（-

π

12

，

5π

12

）内是增函数；
（3）函数h（x）=sin（

2x

3

x-

7π

2

）是偶函数；
（4）存在实数x，使sinx+cosx=

π

3

．
其中正确的命题的序号是

（1）（3）（4）

．

Answer 1

分析：根据点（-

π

6

，0）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（-

π

6

，0）对称，故（1）正确；
由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得y=sin（2x-

π

3

） 的增区间，可得（2）不正确；
对于（3），利用诱导公式化简为y=-cosx，该函数是偶函数；（3）正确；
（4）根据辅助角公式，我们可将sinx+cosx化为

2

sin（x+

π

2

），再由正弦型函数的值域，可以判断（4）的真假．

解答：解：当x=-

π

6

时，函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）=0，故点（-

π

6

，0）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（-

π

6

，0）对称，故（1）正确．
（2）由于函数g（x）=-3sin（2x-

π

3

），由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
可得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈z，取k=-1，得-

7π

12

≤x≤-

π

12

，
故函数的增区间为[-

7π

12

，-

π

12

]，故（2）不正确．
（3）由于h（x）=sin（

2x

3

-

7π

2

）=cos

2x

3

，从而h（-x）=h（x），得h（x）是偶函数，∴命题（3）正确；
（4）中令y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）则-

2

≤y≤

2

，
∵-

2

≤

π

3

≤

2

，∴存在实数x，使得sinx+cosx=

π

3

；即（4）正确．
其中正确的命题的序号是 （1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评：本题主要考查正弦函数的奇偶性、对称性、单调性，判断命题的真假，以及y=Asin（ωx+∅）图象与性质，掌握y=Asin（ωx+∅）图象和性质是解题的关键．属于中档题．