题目内容
【题目】已知点在圆
:
上,而
为
在
轴上的投影,且点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若是曲线
上两点,且
,
为坐标原点,求
的面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:
由可知,N为中点,用相关点法可以求出N点的轨迹方程。
分斜率存在和不存在讨论,当斜率存在时,设直线方程为:
,与椭圆组方程组,利用弦长公式和韦达定理建立k,t的关系式。再利用点到直线的距离公式和面积公式用k,t表示三角形面积,消t,换元可解。
试题解析:
(1)设,
轴,所以
又设,由
有
代入
即曲线
的方程为
(2)设,
,直线
方程为:
,
联立得
,故
,
由4,得
,
故原点到直线
的距离
,∴
,
令,则
,又∵
, 当
.
当斜率不存在时, 不存在,综合上述可得
面积的最大值为1.
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