题目内容

20.如图,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于 M,N两点,直线x=4交抛物线C于 A,B两点,点 M,N在直线x=4的同侧.已知|AF|=5,四边形AMNB的面积为$\frac{133}{8}$.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求直线MN的方程.

分析 (Ⅰ)求出抛物线的焦点和准线,由抛物线的定义,即可求得p;
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:x=my+1,代入抛物线方程,消去x,得到y的方程,运用韦达定理,对m讨论,当0≤m<$\frac{3}{4}$时,将四边形面积转化为三个三角形的面积之和,解方程即可得到m,再讨论当-$\frac{3}{4}$<m<0,解得m,即可得到所求方程.

解答 解:(Ⅰ)抛物线C:y2=2px的焦点为($\frac{p}{2}$,0),
准线为x=-$\frac{p}{2}$,A的横坐标为4,
由抛物线的定义可得|AF|=4+$\frac{p}{2}$=5,
解得p=2;
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:x=my+1,
代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-4=0,
即有y1+y2=4m,y1y2=-4,
|y1-y2|=$\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$,
当0≤m<$\frac{3}{4}$时,设AB与x轴交于E,
则S=S△MNE+S△AEM+S△BEN
=$\frac{3}{2}$|y1-y2|+2(4-x1+4-x2
=6$\sqrt{1+{m}^{2}}$+12-8m2
=-8(m2+1)+6$\sqrt{{m}^{2}+1}$+20,
由S=$\frac{133}{8}$,则-8(m2+1)+6$\sqrt{{m}^{2}+1}$+20=$\frac{133}{8}$,
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$,1≤t<$\frac{5}{4}$,
则-8t2+6t+20=$\frac{133}{8}$,
解得t=$\frac{9}{8}$,即m=$\frac{\sqrt{17}}{8}$.故直线MN:x=$\frac{\sqrt{17}}{8}$y+1;
同理当-$\frac{3}{4}$<m<0,可得m=-$\frac{\sqrt{17}}{8}$.
故直线MN:y=±$\frac{8}{17}$$\sqrt{17}$(x-1).

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质,同时考查直线方程和抛物线方程联立,运用韦达定理,以及三角形的面积公式的运用,属于中档题.

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