Question

已知圆O：x²＋y²＝r²及圆外一点P(a，b)，过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程．

Answer 1

答案：
解析：

分析：过圆外一点P作圆的切线PA，PB，有PA＝PB．由此，以点P为圆心，PA为半径构造辅助圆，则弦AB可以看作已知圆与辅助圆的公共弦． 　　解：由切线长定理得PA＝PB，以P为圆心，PA为半径构造圆P，则AB可看作圆O与圆P的公共弦．如图，由切线的性质得|PA|2＝|PO|2－|OA|2＝a2＋b2－r2， 　　所以圆P的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2－r2．　① 　　又圆O的方程为x2＋y2＝r2，　② 　　①－②，得ax＋by－r2＝0． 　　所以直线AB的方程为ax＋by－r2＝0． 　　点评：本题若按常规思路，需先求得切线方程，再设法求得切点坐标，才能求出直线AB的方程．显然构造辅助圆，将问题转化为求两圆的公共弦方程更巧妙．