题目内容
【题目】设函数.
(1)当,求函数
的单调区间;
(2)当时,函数
有唯一零点,求正数
的值.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为
;(2)
【解析】试题分析:(1)求导,易知:函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.(2)
,对m进行分类讨论,得到函数
的最小值,函数
有唯一零点即函数
的最小值为零.
试题解析:
解:(1)依题意,知,其定义域为
,
当时,
,
.
令,解得
.
当 时,
.此时
单调递增;
当时,
,此时
单调递减.
所以函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(2)由题可知,
.
令,即
,
因为,所以
(舍去),
.
当时,
,
在
上单调递减,
当时,
,
在
上单调递增,
所以的最小值为
.因为函数
有唯一零点,所以
,
由即
可得,因为
,所以
,
设函数,因为当
时该函数是增函数,
所以至多有一解.
因为当时,
,
所以方程的解为
,即
,解得
.
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