题目内容

在△ABC中,A、B、C为三角形的三个内角,且满足条件sin(C-A)=1,sinB=
1
3

(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)若AC=
6
,求△ABC的面积.
分析:(1)利用A=
π
4
-
B
2
可知sinA=sin(
π
4
-
B
2
)
,利用两角和公式可得sinA=
2
2
(cos
B
2
-sin
B
2
)
两边同时平方求得sinA.
(2)利用同角三角函数基本关系求得cosA,和cosB,进而利用两角和公式求得sinC,进而利用正弦定理求得BC,最后利用三角形面积公式求得答案.
解答:解:(Ⅰ)sin(C-A)=1,又-π<C-A<π,
C-A=
π
2

又A+B+C=π,
A=
π
4
-
B
2

sinA=sin(
π
4
-
B
2
)=
2
2
(cos
B
2
-sin
B
2
)

sin2A=
1
2
(1-sinB)=
1
3

又sinA>0,
sinA=
3
3

(Ⅱ)由C-A=
π
2
易知A、B都是锐角,
cosA=
6
3
,cosB=
2
2
3

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
3
3
×
2
2
3
+
6
3
×
1
3
=
6
3

由正弦定理可知
AC
sinB
=
BC
sinA

BC=
ACsinA
sinB
=
6
3
3
1
3
=3
2

S△ABC=
1
2
AC•BC•sinC=
1
2
×
6
×3
2
×
6
3
=3
2
点评:本题主要考查了解三角形的实际应用.涉及了正弦定理,三角形面积公式和两角和公式,综合性很强.
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