Question

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；
（Ⅰ）证明：无论取何值，总有；
（Ⅱ）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；
（Ⅲ）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为30º，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）略
（2）∴当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ="2"
（3）∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º

本题主要考查了直线与平面所成的角，以及直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力，属于基础题．
（1）以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，分别求出 PN,AM
的坐标，要证PN⊥AM，只需求证它们的数量积为零即可；
（2）过P作PE⊥AB于E，连接EN，则∠PNE为直线PN与平面ABC所成的角θ，求出此角的正切值，然后研究其最大值即可求出λ的值．
(3)假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量,那么利用向量的坐标得到参数的值，进而判定方程有无解，说明结论。