Question

已知三点P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）．
（Ⅰ）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆标准方程；
（Ⅱ）设点P、F₁、F₂关于直线y=x的对称点分别为P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．
（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．

解答：解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
其半焦距c=6
2a=|PF1|+|PF2|=

112+22

+

12+22

=6

5

∴a=3

5

，b²=a²-c²=9．
所以所求椭圆的标准方程为

x2

45

+

y2

9

=1
（2）点P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）
关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F₁′（0，-6）、F₂′（0，6）．
设所求双曲线的标准方程为

y2

a 2 1

-

x2

b 2 1

=1(a1＞0，b1＞0)
由题意知，半焦距
c₁=6，2a1=||P′F1′|-|P′F2′||=|

112+22

-

12+22

|=4

5

a1=2

5

，
b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16．
所以所求双曲线的标准方程为

y2

20

-

x2

16

=1．

点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．