Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面为上一点，且．

（1）求的长；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示出，再根据垂直关系对应的向量数量积为零，即可计算出的坐标，从而可求的长度；

（2）根据两个平面法向量夹角的余弦值，再结合几何体中二面角具体是钝角还是锐角，从而确定出二面角余弦值的大小.

解（1）如图，连接，因为菱形，

则，且．

以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．

因，故，，

所以．

由知，，

从而，即．

设，则．

因为，故，

即，所以 (舍去)，即．

（2）由（1）知，．

设平面的法向量为，平面的法向量为，

由，得故可取，

由，得故可取，

从而法向量的夹角的余弦值为，

故所求二面角的余弦值为．