Question

【题目】函数f(x)＝ (x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意x∈R恒成立；q：函数y＝(m2－1)x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1（2）(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．

【解析】　试题分析：（1）先求各段函数最小值，再求三段最小值得最小值（2）先根据最值研究恒成立问题，解得P为真时实数m的取值范围；根据幂函数性质确定Q为真时实数m的取值范围；再由“p或q”为真，“p且q”为假得p真q假或若p假q真，最后不等式组得实数m的取值范围．

试题解析：(1)作出函数f(x)的图象，如图．

可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(x)min＝f(－2)＝1.

(2)对于命题p，m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；对于命题q，m2－1>1，故m>或m<－.

由于“p或q”为真，“p且q”为假，则

①若p真q假，则解得－≤m≤1.

②若p假q真，则

解得m<－3或m>. 故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．