题目内容
已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在原点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,讨论函数
在区间
上的单调性;
(Ⅲ)证明不等式对任意
成立.
(Ⅰ).
(Ⅱ)函数在区间
单调递减,在区间
上单调递增.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,
在区间
上单调递增;
从而可得,
得到对任意
成立.
通过取,
,得
,
.
将上述n个不等式求和,得到:,
证得对任意
成立.
解析试题分析:(Ⅰ)首先求,切线的斜率
,求得切线方程.
(Ⅱ)当时,根据
,只要考查
的分子
的符号.
通过讨论,得
时
在区间
上单调递增;
当时,令
求得其根
. 利用“表解法”得出结论:函数
在区间
单调递减,在区间
上单调递增.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,
在区间
上单调递增;
从而可得,
得到对任意
成立.
通过取,
,得
,
.
将上述n个不等式求和,得到:,
证得对任意
成立.
试题解析:.
(Ⅰ)当时,
,切线的斜率
,
所以切线方程为,即
. 3分
(Ⅱ)当时,因为
,所以只要考查
的符号.
由,得
,
当时,
,从而
,
在区间
上单调递增;
当时,由
解得
. 6分
当变化时,
与
的变化情况如下表:
函数在区间
单调递减,在区间
上单调递增. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,
在区间
上单调递增;
所以,
即对任意
成立. 11分
取,
,
得,即
,
. 13分
将上述n个不等式求和,得到:,
即不等式对任意
成立. 14分
考点:1、导数的几何意义,2、

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