Question

已知点P(4,4)，圆C：(x－m)²＋y²＝5(m＜3) 与椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)有一个公共点A(3,1)，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切.

(1)求m的值与椭圆E的方程；

(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围.

Answer 1

(1)点A代入圆C的方程，得(3－m)²＋1＝5，

∵m＜3，∴m＝1.圆C的方程为(x－1)²＋y²＝5.

设直线PF₁的斜率为k，则PF₁：y＝k(x－4)＋4，

即kx－y－4k＋4＝0.

∵直线PF₁与圆C相切，∴＝.

解得k＝，或k＝.

当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去.

当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4，F₁(－4,0)，F₂(4,0).

2a＝|AF₁|＋|AF₂|＝5＋＝6，a＝3，

a²＝18，b²＝2.椭圆E的方程为：＋＝1.

(2)＝(1,3)，设Q(x，y)，＝(x－3，y－1)，

·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.

∵＋＝1，即x²＋(3y)²＝18，

而x²＋(3y)²≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18.

则(x＋3y)²＝x²＋(3y)²＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36].

x＋3y的取值范围是[－6,6].

∴x＋3y－6的取值范围是[－12,0]，

即·的取值范围是[－12,0].