Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线 l与椭圆C 相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，当k₁•k₂ 最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）根据题意，结合正方形的性质可得b=c且

b2+c2

=2，由此算出a=2，即可得到椭圆C的方程；
（II）当直线l的斜率等于0时，结合椭圆的方程算出k₁•k₂=

3

4

；直线l的斜率不等于0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程为x=my+1，由直线l方程与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到y₁+y₂=

-2m

m2+2

，y₁y₂=

-3

m2+2

．由此利用直线的斜率公式和直线l方程化简k₁•k₂的式子，再根据基本不等式加以计算，可得k₁•k₂=

3

4

+

4m+1

8m2+12

≤1，当且仅当m=1时，等号成立．因此当m=1时k₁•k₂的最大值为1，可得此时的直线l的方程．

解答：解：（I）∵椭圆C方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴由左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形，
可得b=c且

b2+c2

=2，解得b=c=

2

，a=

b2+c2

=2．
∴椭圆 C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（II）①直线l的斜率等于0时，A、B分别为左右顶点，
∴k₁•k₂=

3

4+2

•

3

4-2

=

3

4

；
②直线l的斜率不等于0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x=my+1 x2 4 + y2 2 =1

消去x，整理得（m²+2）y²+2my-3=0．
∴y₁+y₂=

-2m

m2+2

，y₁y₂=

-3

m2+2

．
∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
∴k₁•k₂=

3-y1

4-x1

•

3-y2

4-x2

=

(3-y1)(3-y2)

(3-my 1)(3-my2)

=

9-3(y1+y2)+y1y2

9-3m(y1+y2)+m2y 1y2

=

9-3• -2m m2+2 + -3 m2+2

9-3m• -2m m2+2 +m2• -3 m2+2

=

3m2+2m+5

4m2+6

=

3

4

+

4m+1

8m2+12

．
令t=4m+1，则

4m+1

8m2+12

=

2t

t2-2t+25

=

2

(t+ 25 t )-2

≤

2

2 t• 25 t -2

=

1

4

，
∴k₁•k₂=

3

4

+

4m+1

8m2+12

≤

3

4

+

1

4

=1，当且仅当t=5即m=1时，等号成立．
综合①②，可得k₁•k₂的最大值为1，此时的直线l方程为x=y+1，即x-y-1=0．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并研究直线斜率之积的最大值问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式、用基本不等式求最值和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．