Question

已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（1 ， 

3

）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线x+y-4=0的距离的最小值；
（3）若直线l与圆C相切，且l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，求△ABC的面积最小时直线
l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据圆的定义求出圆的半径，进而结合题意写出圆的方程．
（2）由圆的性质可得：P到直线l：x+y-4=0的距离的最小值是圆心到直线l的距离减去半径，结合点到直线的距离公式可得答案．
（3）设直线l的方程为：y=kx+b，根据题意可得：k＜0，b＞0，又因为l与圆C相切，得到b关于k的一个关系式，再用b与k表示出三角形的面积可得：S△ABC=2(-k+

1

-k

)≥4，然后利用基本不等式求出面积的最大值与k、b的值即可．

解答：解：（1）由题意可得：圆C的半径为|CM|=

1+3

=2，…（2分）
所以圆C的方程为x²+y²=4…（3分）
（2）圆心到直线l的距离为d=

|-4|

12+12

=2

2

，…（4分）
所以P到直线l：x+y-4=0的距离的最小值为：2

2

-2…（6分）
（3）设直线l的方程为：y=kx+b，
因为l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，所以k＜0，b＞0，且A(-

b

k

 ， 0) ，  B(0 ， b)，
又因为l与圆C相切，
所以C点到直线l的距离等于圆的半径2，即：

|b|

k2+1

=2⇒b2=4k2+4，①，
因为S△ABC=

1

2

(-

b

k

)b=

-b2

2k

②…（8分）
所以将①代入②得S△ABC=

-(4k2+4)

2k

=2(-k+

1

-k

)≥4

(-k)• 1 -k

=4，
当且仅当k=-1时取等号，
所以当k=-1时，△ABC的面积最小，
此时b2=4k2+4=8，    b=2

2

，
所以直线l的方程为：y=-x+2

2

…（10分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握圆的标准方程与圆的一个性质，以及结合点到直线的距离判断直线与圆的位置关系．