Question

【题目】已知动圆与圆：，圆都相内切，即圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于，两个不同的点．

（1）求曲线的方程；

（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，.

【解析】

试题分析：（1）动圆与圆：，圆都相内切，可得圆心的轨迹为以、为焦点的椭圆，其中，从而可求得曲线的方程；（2）设，，，直线：，则直线：，与椭圆方程联立利用韦达定理、弦长公式及两点间距离公式可求得.

试题解析：（1）设圆心的坐标为，半径为,

∴∴，

∴圆心的轨迹为以、为焦点的椭圆，其中，，

∴，，，

故圆心的轨迹：．

（2）设，，，直线：，则直线：，

由可得∴

，

由可得，

∴，，

∴ ，

∴．

∴和的比值为一个常数，这个常数为．