题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为
,过抛物线上一点
作抛物线
的切线
,
交
轴于点
.
(1)判断的形状;
(2) 若两点在抛物线
上,点
满足
,若抛物线
上存在异于
的点
,使得经过
三点的圆与抛物线在点
处的有相同的切线,求点
的坐标.
【答案】(1) 为等腰三角形.
(2) 点的坐标为
.
【解析】分析:(1)利用导数求得切线方程,令,可求得
点坐标,根据抛物线的焦点半径公式,即可求得
,则
为等腰三角形;(2)根据向量的坐标运算,求得
点坐标,分别求得
及
的中垂线方程,即可求得
外接圆的圆心,由
,即可求得点
的坐标.
详解:(1)设,
∵,∴
,
则切线的方程为
,即
,
∴,
∵,∴
所以为等腰三角形.
(2)设,
∵,∴
是
的中点,
∴,
∵在抛物线
上,
∴,
∴或
∴两点的坐标为
,设
(
),
则由①②得圆心
由得
,
∴或
,
∵,
∴
∴点的坐标为
.
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