题目内容

已知向量
m
=(2cos
x
2
，1)，
n
=(sin
x
2
，1)（x∈R），设函数f(x)=
m
•
n
-1．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)=
5
13
，f(B)=
3
5
，求f（C）的值．
分析：（1）根据所给的两个向量的坐标，写出函数f（x）的解析式，逆用正弦的二倍角公式，把函数变形为y=sinx的形式，根据所给的变量的取值范围，写出函数的值域．
（2）根据f(A)=
5
13
，f(B)=
3
5
，写出三角形的两个内角的三角函数值，根据三角形是锐角三角形和同角的三角函数关系，根据两角和的正弦公式，得到结果．
解答：解：（1）∵向量
m
=(2cos
x
2
，1)，
n
=(sin
x
2
，1)（x∈R），
∴f(x)=
m
•
n
-1=(2cos
x
2
，1)•(sin
x
2
，1)-1
=2cos
x
2
sin
x
2
+1-1=sinx．
∵x∈R，
∴函数f（x）的值域为[-1，1]．
（2）∵f(A)=
5
13
，f(B)=
3
5
，∴sinA=
5
13
，sinB=
3
5
．
∵A，B都是锐角，
∴cosA=
1-sin2A
=
12
13
，cosB=
1-sin2B
=
4
5
．
∴f（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=
5
13
×
4
5
+
12
13
×
3
5
=
56
65
.
∴f（A+B）的值为
56
65
．
点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的坐标，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到角的变换问题．注意解题过程中角的范围．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(2cosx，-
3
sin2x)，
n
=（cosx，1），设函数f（x）=
m
•
n
，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，
π
2
]上有实数根，求k的取值范围．
已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函数f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b为常数且x∈R）．
（Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．
（2012•威海一模）已知向量
m
=(2cosx，
3
cosx-sinx)，
n
=(sin(x+
π
6
)，sinx)，且满足f(x)=
m
•
n
．
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且
AB
•
AC
=
3
，求边BC的最小值．
已知向量
m
=(2cosx，1)，向量
n
=(cosx，
3
sin2x)，函数f(x)=
m
•
n
+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x
．
（1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2012，b=1，△ABC的面积为
3
2
，求
1005(a+c)
sinA+sinC
的值．
已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函数f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b为常数且x∈R）．
（Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网