题目内容

定义在（0，+∞）上的单调递增函数f（x）满足：f（x）的导函数存在，且
f(x)
f′(x)
＜x，则下列不等式成立的是（　　）
分析：由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数得到f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，则
f(x)
f′(x)
＜x变形为xf′（x）-（x）＞0，由此想到构造辅助函数g（x）=
f(x)
x
，利用导数分析出该函数的单调性，从而得到要选择的结论．
解答：解：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，故f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以
f(x)
f′(x)
＜x可化成xf′（x）-（x）＞0
设g（x）=
f(x)
x
，
得到g′(x)=
xf′(x)-f(x)
x2
＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增．
故g（3）＞g（2），即
f(3)
3
＞
f(2)
2
．
即2f（3）＞3f（2）．
故选D．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解答的关键在于正确构造函数g（x）=
f(x)
x
并能熟练掌握商的求导法则，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n时，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)记an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，则在数列{an}中，a1+a2+…a8=（　　）
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)
设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，则下面关于函数f（x）判断正确的是（　　）
（2011•顺义区二模）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（　　）
填空题
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，则sin2x的值为
1
9
1
9
．
（2）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）设向量
a
，
b
，
c
满足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，则|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．
（2013•湖州二模）定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）

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