题目内容

选修4-4坐标系与参数方程
已知直线l过定点P(-3，-
3
2
)与圆C：
x=5cosθ
y=5sinθ
(θ为参数)相交于A、B两点．
求：（1）若|AB|=8，求直线l的方程；
（2）若点P(-3，-
3
2
)为弦AB的中点，求弦AB的方程．
分析：（1）分类讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，把圆C的方程化为普通方程，利用弦长|AB|=2
r2-d2
（d为圆心到直线l的距离）即可求出；
（2）利用OP⊥AB的关系求出直线AB的斜率，进而求出方程．
解答：解：（1）①当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则y+
3
2
=k(x+3)，
由圆C：
x=5cosθ
y=5sinθ
(θ为参数)消去参数θ化为x2+y2=25，圆心C （0，0），半径r=5．
∴圆心C （0，0）到直线l的距离d=
|3k-
3
2
|
k2+1
，
∵|AB|=8，∴8=2
52-(
|3k-
3
2
|
k2+1
)2
，化为k=-
3
4
，
∴直线l的方程为y+
3
2
=-
3
4
(x+3)，即3x+4y+15=0；
②当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-3，满足|AB|=8，适合题意．
（2）∵kOP=
-
3
2
-3
=
1
2
，AB⊥OP，∴kAB=-2．
∴直线AB的方程为y+
3
2
=-2(x+3)，化为4x+2y+15=0
联立
4x+2y+15=0
x2+y2=25
，解得x=
-12±
41
4
．
∴弦AB的方程为4x+2y+15=0(
-12-
41
4
≤x≤
-12+
41
4
)．
点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、弦长|AB|=2
r2-d2
（d为圆心到直线l的距离）公式、互相垂直的直线之间的斜率关系是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值，并求此时M点的坐标．
（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xoy中，过椭圆
x2
12
+
y2
4
=1在第一象限内的一点P（x，y）分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M，N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．
本题（1）（2）（3）三个选答题，每小题5分，请考生任选1题作答，如果多做，则按所做的前1题计分．
（1）（选修4-1，几何证明选讲）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=
a
2
，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=
a
2
a
2
．
（2）（选修4-4，坐标系与参数方程）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ≤2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为
（
2
，
3π
4
）
（
2
，
3π
4
）
．
（3）（选修4-1，不等式选讲）已知函数f（x）=|x-a|．若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，则实数a的值为
a=2
a=2
．
选修4-4：坐标系与参数方程选讲．
在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为（2，
π
3
）．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l（3）的参数方程为
x=1+
1
2
t
y=-2+
3
2
t
（t为参数），直线l与圆C相交于A，B两点，已知定点M（1，-2），求|MA|•|MB|．
（2013•湖北）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为
x=acosφ
y=bsinφ
(φ为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
m(m为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为
6
3
6
3
．

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