Question

（2010•眉山一模）对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：
①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；
③若对x∈R，有f（x）=f（2-x），则函数f（x）关于直线x=1对称；
④若对x∈R，有f(x+1)=-

1

f(x)

，则f（x）的最小值正周期为4．
其中正确命题的序号是

①②③

．（填写出所有的命题的序号）

Answer 1

分析：f（x-1）的图象由f（x）的图象向右平移得到；而f（x）是奇函数，它的对称中心是（0，0），从而可得f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；对于②，也可用类似的方法解决；对于x∈R，有f（x）=f（2-x），则函数f（x）关于直线x=1对称，故③正确，若对x∈R，有f(x+1)=-

1

f(x)

，则f（x）的最小值正周期为2．故④不正确．

解答：解：∵f（x）是奇函数∴f（x）的图象关于原点对称，
而f（x-1）的图象由f（x）的图象向右移一个单位，
故f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称，故①正确；
若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，而f（x-1）的图象由f（x）的图象向右移一个单位，
则f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）为偶函数故②正确；
若对x∈R，有f（x）=f（2-x），则函数f（x）关于直线x=1对称，故③正确，
若对x∈R，有f(x+1)=-

1

f(x)

，则f（x）的最小值正周期为2．故④不正确，
综上可知①②③正确，
故答案为：①②③

点评：本题主要考查了抽象函数的奇偶性、单调性以及图象的对称性和平移变换等有关知识，是一道综合题，需要对各性质都要清楚才能做出．