题目内容

(2010•眉山一模)若函数y=f(x)的值域是[
1
2
,3]
,则函数F(x)=f(x)-
1
f(x)
的值域是(  )
分析:运用换元法,设内层函数f(x)=t,则所求函数的值域等价于函数y=t-
1
t
在t∈[
1
2
,3]
内的值域,而此函数的值域可用单调性法,先证明此函数为增函数,再求值域即可
解答:解:设t=f(x),则t∈[
1
2
,3]

则y=F(x)=g(t)=t-
1
t
,t∈[
1
2
,3]

∵g′(t)=1+
1
t2
>0
∴g(t)=t-
1
t
在t∈[
1
2
,3]
上为增函数
∴g(t)∈[-
3
2
8
3
]
故选A
点评:本题考查了复合函数值域的求法,换元法、单调性法求值域的技巧的运用
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