Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设

AM

=λ

AB

．
（Ⅰ）证明：λ=1-e²；
（Ⅱ）若λ=

3

4

，△MF₁F₂的周长为6；写出椭圆C的方程；
（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点表示出A、B的坐标，然后联立直线方程与椭圆方程可得到交点M的坐标，再根据

AM

=λ

AB

得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a）根据对应坐标相等可得到

a e -c=λ a e b2 a =λa

，从而得到λ=1-e²，等证．
（Ⅱ）当λ=

3

4

时可得到e的值，进而得到a，c的关系，再由△PF₁F₂的周长为6可得到2a+2c=6，进而可求出a，c的值，从而可得到b的值，确定椭圆方程．
（Ⅲ）根据PF₁⊥l，可得到∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，进而要使得△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

1

2

|PF₁|=c成立，
然后设点F₁到l的距离为d，根据

1

2

|PF₁|=d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=c可得到

1-e2

1+e2

=e，进而可得到e的值，求出λ的值．

解答：（Ⅰ）证明：因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，
所以A、B的坐标分别是（-

a

e

，0），（0，a）．
由

y=ex+a x2 a2 + y2 b2 =1

得

x=-c y= b2 a .

这里c=

a2+b2

．
所以点M的坐标是（-c，

b2

a

）．
由

AM

=λ

AB

得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a）．
即

a e -c=λ a e b2 a =λa

，解得λ=1-e²
（Ⅱ）当λ=

3

4

时，e=

1

2

，所以a=2c．
由△PF₁F2的周长为6，得2a+2c=6．
所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅲ）因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，
即

1

2

|PF₁|=c．
设点F₁到l的距离为d，由

1

2

|PF₁|=d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=

|a-ec|

1+e2

=c．
得

1-e2

1+e2

=e．
所以e²=

1

3

，于是λ=1-λ=

2

3

．
即当λ=

2

3

时，△PF₁F2为等腰三角形．

点评：本题主要考查直线与x轴、y轴的交点问题、向量的线性运算、椭圆方程的求法和点到直线的距离．考查基础知识的综合运用和计算能力．直线与圆锥曲线是高考的一个重要考点，每年必考，要给予充分重视．