Question

1．已知数列{a_n}满足，a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求a₁的值；
（2）当a₁=2时，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若对任意n∈N^*，都有a_n²+a_n+1²≥20n-15成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的定义，若数列{a_n}是等差数列，则a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．结合a_n+1+a_n=4n-3，得即可解得首项a₁的值；
（2）由a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），用n+1代n得a_n+2+a_n+1=4n+1（n∈N^*），两式相减，得a_n+2-a_n=4，从而得出数列{a_2n-1}是首项为a₁，公差为4的等差数列，进一步得到数列{a_2n}是首项为a₂，公差为4的等差数列．然后对n进行分类讨论：①当n为奇数时，②当n为偶数时，分别求和即可；
（3）由（2）知，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-2+{a}_{1}，n=2k-1}\\{2n-3-{a}_{1}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈Z）．①当n为奇数时，②当n为偶数时，分别解得a₁的取值范围，取交集得答案．

解答 解：（1）若数列{a_n}是等差数列，则a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．
由a_n+1+a_n=4n-3，得（a₁+nd）+[a₁+（n-1）d]=4n-3，即2d=4，2a₁-d=-3，解得d=2，a₁=-$\frac{1}{2}$；
（2）由a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），得a_n+2+a_n+1=4n+1（n∈N^*）．
两式相减，得a_n+2-a_n=4．
∴数列{a_2n-1}是首项为a₁，公差为4的等差数列．
数列{a_2n}是首项为a₂，公差为4的等差数列．
由a₂+a₁=1，a₁=2，得a₂=-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n，n=2k-1}\\{2n-5，n=2k}\end{array}\right.$（k∈Z）．
①当n为奇数时，a_n=2n，a_n+1=2n-3．S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n
=1+9+…+（4n-11）+2n=$\frac{\frac{n-1}{2}（1-4n+11）}{2}$+2n=$\frac{2{n}^{2}-3n+5}{2}$．
②当n为偶数时，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）═1+9+…+（4n-7）=$\frac{2{n}^{2}-3n}{2}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{n}^{2}-3n+5}{2}，n=2k-1}\\{\frac{2{n}^{2}-3n}{2}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈Z）．
（3）由（2）知，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-2+{a}_{1}，n=2k-1}\\{2n-3-{a}_{1}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈Z）．
①当n为奇数时，a_n=2n-2+a₁，a_n+1=2n-1-a₁．
由a_n²+a_n+1²≥20n-15，得a₁²-a₁≥-4n²+16n-10．
令f（n）=-4n²+16n-10=-4（n-2）²+6．
当n=1或n=3时，f（n）_max=2，∴a₁²-a₁≥2．
解得a₁≥2或a₁≤-1．
②当n为偶数时，a_n=2n-3-a₁，a_n+1=2n+a₁．
由a_n²+a_n+1²≥20n-15，得a₁²+3a₁≥-4n²+16n-12．
令g（n）=-4n²+16n-12=-4（n-2）²+4．
当n=2时，g（n）_max=4，∴a₁²+3a₁≥4．
解得a₁≥1或a₁≤-4．
综上所述，a₁的取值范围是（-∞，-4]∪[2，+∞）．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n项和、不等式的解法、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．